topologija

Zivjo, rabm pomoč pri naslednji nalogi:

Naj bo X povezan topološki prostor. Ali obstaja zvezna surjektivna preslikava f: X-> Y, kijer je Y={0,1) z diskretno topologijo?

Upam, da bo kdo znal rešit.
Ful hvala

Hvala za pomoč :)

za vsaki dve točki a,b iz S2 definiramo funkcijo poti f(l) na [0,1] pri čemer je f(0) = a in f(1) = b. Če nimaš domišljije, definiraš pot kar po geodetki (poglej analizo) s poljubno parametrizacijo (hitrost ni važna). Ker si za poljubni dve točki iz S2 skonstruirala zvezno preslikavo iz zaprtega intervala v prostor, imaš pot med poljubnima točkama v prostoru. Sledi ... prostor je s potmi povezan.

Meni so bolj vsec manj konstruktivni dokazi :)

Zgornja polovica sfere ( \{(x,y,z) \in S^2 z \geq 0\} (napaka se odpravlja)) je homeomorfna disku. Homeomorfizen je lahko kar projekcija na ravnino z = 0. Prav tako je spodnja polovica (spet zaprta) homeomorfna disku. Kot taki sta vsaka polovica zase s potmi povezana prostora (disk je s potmi povezan ker je enotski interval s potmi povezan in je disk produkt dveh intervalov). Presek spodnje in zgronje polovice je neprazen in tako je celotna sfera s potmi povezana.

Ali pa problem prevedes na drug problem:
R^3 \ {0} je s potmi povezan (to je drug problem :)). Vzames preslikavo f : \mathbb{R}^3\setminus \{0\} \to \mathbb{R}^3\setminus \{0\}, f(x) = \frac{x}{\parallel x \parallel} (napaka se odpravlja) (preslikava je zvezna ker je norma zvezna). Slika preslikave je ravno enotska sfera v R^3 (to lahko hitro formalno dokazes) in ker je slika s potmi povezanega prostora s potmi povezan prostor je tudi sfera s potmi povezan prostor.

Da je R^3 \ {0} s potmi povezan prostor je lahko pokazati. Verjetno ste kje pokazali da je odprta podmnozica v R^n s potmi povezana natanko tedaj, ko je povezana. Da je R^3 \ {0} povezana je lahko pokazati. Npr. Zopet razdelis na dva dela, tisti ki ima koordinato z \geq 0 (napaka se odpravlja) in tisti ki ima z \leq 0 (napaka se odpravlja). Ves da sta oba dela povezana (zakaj?) in presek neprazen, torej je unija povezana.
Ja, malo komplicirano ampak se izognes eksplicitnemu pisanju preslikave. :)

Ali pa naredis kot je napisal equinox. Samo eksplicitno pisanje poti v kartezicnih koordinatah ni najbolj hvalezno pocetje. Ce pa delas v sfericnih imas pa tezave lepo pokazati, da je preslikava zvezna.

Zanima me, če bo to celoten dokaz:
če združim
za vsaki dve točki a,b iz S2 definiramo funkcijo poti f(l) na [0,1] pri čemer je f(0) = a in f(1) = b. Če nimaš domišljije, definiraš pot kar po geodetki (poglej analizo) s poljubno parametrizacijo (hitrost ni važna). Ker si za poljubni dve točki iz S2 skonstruirala zvezno preslikavo iz zaprtega intervala v prostor, imaš pot med poljubnima točkama v prostoru. Sledi ... prostor je s potmi povezan.

in tistemu vmes dodam

Zgornja polovica sfere ( \{(x,y,z) \in S^2 z \geq 0\}) je homeomorfna disku. Homeomorfizen je lahko kar projekcija na ravnino z = 0. Prav tako je spodnja polovica (spet zaprta) homeomorfna disku. Kot taki sta vsaka polovica zase s potmi povezana prostora (disk je s potmi povezan ker je enotski interval s potmi povezan in je disk produkt dveh intervalov). Presek spodnje in zgronje polovice je neprazen in tako je celotna sfera s potmi povezana.


Pa še enkrat hvala

Živjo
Profesorju sem sedaj poslala dokaz
Zgornja polovica sfere ( \{(x,y,z) \in S^2 z \geq 0\}) je homeomorfna disku. Homeomorfizen je lahko kar projekcija na ravnino z = 0. Prav tako je spodnja polovica (spet zaprta) homeomorfna disku. Kot taki sta vsaka polovica zase s potmi povezana prostora (disk je s potmi povezan ker je enotski interval s potmi povezan in je disk produkt dveh intervalov). Presek spodnje in zgronje polovice je neprazen in tako je celotna sfera s potmi povezana.


in mi je odgovoril naj dodatno naredim še

najbolje, da povezete poljubni tocki
a in b na sferi z eno tocko (npr. z (1,0,0) v kartezicnih koordinatah)
in naredite sklop poti.
Posebej povejte kako gre, ce je a=(-1,0,0) in b=(1,0,0).


Kako naj dokažem sedaj še to?
Hvala za pomoč

uuuu hvala
a je še kakšna manj zakomplicirana verzija